코사인 법칙

재미 삼아, 기억에 남아 있지 않은, 어쩌면 한 번도 내 두뇌를 차지한 적이 없는, 삼각 함수를 공부하고 있다. 우연히 발견한 이 문제의 답을 풀지 못해 여기저기 인터넷을 뒤졌다.

tikz보다 일러스트레이터가 도형을 그리기에 더 편하리라 생각했는데, 일러스트레이에서 수학 기호를 어떻게 입력해야 하는지 모르겠다.

A의 각이 90°일 것 같은데, 그러면

$$\sqrt{3^2+{3\sqrt{3}}^2}=6$$

이렇게 답을 쉽게 구할 수 있는데, 정말 그게 답일 것 같은데 ... 코사인 법칙이라는 게 있다니, 그것을 이용해 보자.

\begin{align*}
3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 + a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a \cdot \cos{60}} \\
3\sqrt{3} = \sqrt{9 + a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a \cdot \frac{1}{2}} \\
3\sqrt{3} = \sqrt{9 + a^2 - 3a} \\
27 = a^2 - 3a + 9 \\
a^2 - 3a - 18 = 0 \\
\end{align*}

근의 공식을 이용하여,

\begin{align*}
a = \frac{-{-3} \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot {-18}}}{2 \cdot 1} \\
a = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} \\
a = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} \\
a = \frac{3 \pm \sqrt{9^2}}{2} \\
a = \frac{3 \pm 9}{2} \\
a = \frac{12}{2} = 6, a = \frac{-6}{2} = -3
\end{align*}

길이가 음수일 수 없으므로, 답은 6. 내 직감이 맞았다.