코사인 법칙

재미 삼아, 기억에 남아 있지 않은, 어쩌면 한 번도 내 두뇌를 차지한 적이 없는, 삼각 함수를 공부하고 있다. 우연히 발견한 이 문제의 답을 풀지 못해 여기저기 인터넷을 뒤졌다.

tikz보다 일러스트레이터가 도형을 그리기에 더 편하리라 생각했는데, 일러스트레이에서 수학 기호를 어떻게 입력해야 하는지 모르겠다.

A의 각이 90°일 것 같은데, 그러면

$$\sqrt{3^2+{3\sqrt{3}}^2}=6$$

이렇게 답을 쉽게 구할 수 있는데, 정말 그게 답일 것 같은데 ... 코사인 법칙이라는 게 있다니, 그것을 이용해 보자.

$$\begin{array}{r}3\sqrt{3}=\sqrt{3^2+a^2-2\cdot 3\cdot a\cdot \cos 60}\\ 3\sqrt{3}=\sqrt{9+a^2-2\cdot 3\cdot a\cdot \frac{1}{2}}\\ 3\sqrt{3}=\sqrt{9+a^2-3a}\\ 27=a^2-3a+9\\ a^2-3a-18=0\end{array}$$

근의 공식을 이용하여,

$$\begin{array}{r}a=\frac{--3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot -18}}{2\cdot 1}\\ a=\frac{3\pm \sqrt{9+72}}{2}\\ a=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}\\ a=\frac{3\pm \sqrt{9^2}}{2}\\ a=\frac{3\pm 9}{2}\\ a=\frac{12}{2}=6,a=\frac{-6}{2}=-3\end{array}$$

길이가 음수일 수 없으므로, 답은 6. 내 직감이 맞았다.